Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

Paso 1

Simplifica $4^{2} + 24 x + 47$ .

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Paso 1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 + 24 x + 47$

Paso 1.2

Suma $16$ y $47$ .

$y = 24 x + 63$

Paso 2

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Paso 3

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

Paso 4

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

Paso 5

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - \frac{21}{8}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{21}{8}$ al numerador.

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

Paso 5.1.1.3

Cancela el factor común.

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

Paso 5.1.1.4

Reescribe la expresión.

$3 \cdot - 21 + 63$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $- 21$ .

$- 63 + 63$

Paso 5.2

Suma $- 63$ y $63$ .

$0$

Paso 6

Como $- \frac{21}{8}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + \frac{21}{8}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

Paso 7

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 7.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

Paso 7.2

El primer número en el dividendo $(24)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

Paso 7.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(24)$ por el divisor $(- \frac{21}{8})$ y coloca el resultado de $(- 63)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(63)$ .

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

Paso 7.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

Paso 7.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$24$

Paso 8

Como $24 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 9

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$x + \frac{21}{8}$

Paso 10

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $24 x + 63$ .

$x = - \frac{21}{8}$

Paso 11